BASE TEÒRICA

  1. Introducció
  2. Inequacions
  3. Famílies de rectes paral·leles en el pla
  4. Teoria general de la programació lineal
  5. Mètode analític de resolució
  6. Mètode gràfic de resolució
  7. Resolució de problemes amb l'eina
  8. Estudis posteriors

1. Introducció.
Vegem primerament un problema típic de programació lineal per anar entrant en situació:
  L'empresa Ampostina del joguet, SA irromp en el mercat amb la seva innovadora nina Baby Moquets, que fabrica en dues versions:
    La primera, la Baby Moquets Dia, va acompanyada de dos vestits, bolquers i xumet, i per produir cada lot, calen 100 grams de plàstic i 1,25 metres de tela.
    La Baby Moquets Nit es presenta amb bressol, roba per al bressol, biberó, orinal i, a més, inclou un mecanisme interior que fa que la nina plori a les 4 de la matinada. Per a la seva producció calen 200 grams de plàstic, 1 metre de tela i un lector de discos magnètics.
    L'empresa disposa de 100 metres de tela, 10 quilos de plàstic i 40 lectors de discos.
    D'altra banda, la Baby Moquets Dia es ven a 30 euros, i els seus costos de producció per unitat són de 12 euros; i la Baby Moquets Nit es ven a 42 euros, i a l'empresa li costa 18 euros fabricar-la.
    Estudia el nombre de nines d'una classe i altra que s'han de fabricar perquè el benefici sigui màxim.
RESUM DE DADES DEL PROBLEMA

Plàstic
Tela
Lectors de disc
x = nombre de B. Dia
100 g
1,25 m
0
y = nombre de B. Nit
200 g
1m
1
Quantitats màximes a utilitzar

≤10 kg

≤100 m
≤40

    Per resoldre aquest tipus de problemes, cal que repassem alguns conceptes sobre inequacions. Més endavant en veurem de nous.
Índex.


2. Inequacions

2.1. Propietats de les inequacions (les enunciem per al cas < però són igualment vàlides per als casos >, ≤, ≥)
Siguin els nombres reals a, b, c:
1. Si a < b llavors a + c < a +c.
Exemple:
    2x < x + 5 equival a 2x - x < 5, perquè d'una a una altra es passa sumant ‘-x’ als dos membres de la inequació. Com pots veure, d'aquesta última obtenim x < 5.

2. Si a < b i c < d, llavors a + c < b + d.
    És a dir, que si se sumen dues desigualtats del mateix sentit, en queda una altra del mateix sentit també.
3. Si a < b i c és positiu, llavors a × c < b × c, i (a/c) < (b/c).
    Dit d'una altra manera: el sentit d'una desigualtat es conserva en multiplicar o dividir els seus membres per un mateix nombre positiu.
4. Si a < b i c és negatiu, llavors a × c > b × c, i (a/c) > (b/c).
    És a dir, el sentit d'una desigualtat canvia en multiplicar o dividir els seus membres per un mateix nombre negatiu.

Exemples:

  • De l'expressió 3x < 5 es pot deduir que x < (5/3). Només cal dividir els dos membres entre 3 (que és positiu).
  • De l'expressió -3x < 5 es pot deduir que x > (-5/3). Sols cal dividir els dos membres entre -3 (que és negatiu). FIXA'T BÉ EN EL CANVI DE SENTIT DE LA DESIGUALTAT.
 
2.2. Inequacions lineals amb dues incògnites
    Si a, b i c son nombres reals, qualsevol d'aquestes expressions l'anomenem inequació lineal amb dues incògnites.
ax + by < c     ax + b > c     ax + by > c     ax + by ≥ c

    On x i y són les variables o incògnites, i a, b i c són constants.

    Recordem que una equació de la forma ax + by = c representa una recta en el pla
(equació general de la recta en el pla). Així, doncs, cadascuna de les inequacions anteriors representa un dels dos semiplans en què la recta divideix el pla (amb la mateixa recta inclosa si la desigualtat no és estricta).



    Per exemple, a continuació es representen gràficament les solucions de dues inequacions (zona acolorida).  Observeu que en el primer cas, la recta forma part de la solució, al contrari que en la segona.

    

2.3. Sistemes d'inequacions lineals amb dues incògnites
    La solució d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites és el conjunt de les solucions comunes a totes les inequacions que el constitueixen.
    En el cas de sistemes amb dues incògnites, resulta molt útil la representació gràfica.
Exemple:
    Considerem el següent sistema d'inequacions lineals:
3x + 2y ≥ 3
2x + 3y ≥ 6
x - y ≤ 1

    Per obtenir els punts, les coordenades dels quals són solució del sistema, representarem gràficament cadascuna de les solucions de les inequacions per separat. Així, la intersecció dels tres plans ens donarà la solució buscada.


    El semiplà solució de cadascuna de les inequacions per separat s'acostuma a indicar amb una fletxa, al costat de la recta corresponent.

      Fixa't ara en el problema del començament del tema:

    Només disposen de 10 quilos de plàstic. Això vol dir que si fabriquen x Baby Moquets Dia, gastaran 100
x grams de plàstic. Igualment, si fabriquen y Baby Moquets Nit, gastaran 200y grams de plàstic. Com que en total no poden utilitzar més de 10 quilos, s'ha de complir:

100x + 200y ≤ 10.000

    Seguint un raonament semblant per a la tela i els lectors de disc arribem a les següents inequacions:

1,25x + y ≤ 100
y ≤ 40

    Cal comentar també, que x i y han de ser sempre positives o zero (no es pot fabricar un nombre negatiu de nines).

x ≥ 0 y ≥ 0

    Aquestes cinc inequacions constitueixen el sistema d'inequacions del problema plantejat, la solució del qual està donada per les coordenades dels punts situats en la zona acolorida del gràfic següent:
Índex.

3.  Famílies de rectes paral·leles en el pla
    L'equació mx + ny = 0 és l'equació d'una recta que passa per l'origen de coordenades i té pendent -m/n. Llavors, l'equació explícita d'aquesta recta és y = -mx/n. (1)
    Considerem ara l'equació
mx + ny = z per a diferents valors de la variable z:
    Per al cas de z = k1, l'equació és mx + ny = k1 (y =-mx/n + k1 /n en forma explícita). Observeu que es tracta d'una recta amb el mateix pendent que (1), però amb diferent ordenada a l'origen. És a dir, paral·lela a (1).
Per al cas de z = k2, l'equació és mx + ny = k2 (y =-mx/n + k2 /n en forma explícita). Observeu que també es tracta d'una recta amb el mateix pendent que (1), però amb diferent ordenada a l'origen. És a dir, paral·lela a (1).

    Així, doncs, segons com modifiquem z anirem obtenint rectes paral·leles a (1).
    A més a més, observeu que si n > 0, com més amunt talli la recta l'eix d'ordenades, major és z, i com més avall, menor és z.



    Per al nostre problema de partida, la funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas maximitzar) és la funció de beneficis, que està donada per l'expressió:

z = 30x - 12x + 42y - 18y = 18x + 24y
    Expressió que ens porta a la família de rectes: y = -3x/4 + z/24

Índex